数学
# 数、式、方程与方程组
# 实数
了解实数的分类,数轴,相反数和倒数、绝对值、算数平方根的概念及其有关计算.
# 实数
- 有理数
可以整除或者有规律的循环
- 整数
- 正整数(自然数)
- 零(自然数)
- 负整数
- 分数
- 正分数
- 负分数
- 整数
- 无理数
无限不循环小数(π,开根开不尽,e 自然数)
- 正有理数
- 负有理数
# 实数的基本概念
- 数轴 规定原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. #----------0----1--------->
- 相反数 绝对值相同而符号相反的两个数,互称为相反数. 一对相反数的和等于 0(|a| |-a|)
- 倒数
一除以某数的商我们叫做倒数,零没有倒数.
a-> 1/a a 的倒数为 1/a a 与自己的倒数相乘 =1 a*(1/a)=1 (1/a)*a=1
-3 的倒数 是 -(1/3) - 绝对值 正数绝对值本身,负数绝对值是相反数.(本身到 0 的距离)
# 实数的运算
| 原数 | 同号 | 异号 | ||
|---|---|---|---|---|
| 运算 | 符号 | 绝对值 | 符号 | 绝对值 |
| 加 | 保持原号 | 相加 | 同绝对值较大的符号 | 相减 |
| 减 | 减去一个数等于加上这个数的相反数 | |||
| 乘 | + | 相乘 | - | 相乘 |
| 除 | + | 相除 | - | 相除 |
| 乘方 | 正数的任何次幂都是正数;负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数;零的正数此幂等于 0;任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1;任何不等于 0 的负数-p(p 是正整数)次幂,等于这个数 p 次幂的倒数 | |||
| 开方 | 一个正方形有两个平方根,他们互为相反数;0 的平方根是 0;负数没有平方根;一个正数有一个正的平方根;一个负数有一个负的立方根;0 的立方根是 0; |
- 加减法
- 加法:
- 法则:
- 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加. (+2++3=+5) (-2+-3=-5)
- 异号相加(绝对值不相等的两个数)取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小绝对值的值(3-2)=1
- 如果两个数互为相反数,互为相反数的两个数相加值为 0;
- 任何数与 0 相加,仍得这个数;
- 法则:
- 减法
- 法则
- 减去一个数等于加上这个数的相反数 (5-4) = (5+-4)
- 运算率
- 交换律 :两个数相加 交换先后顺序,结果不变(a+b) = (b+a)
- 结合律 :三个数相加先把前两个数相加或者先把后两个数相加和不变(a+b+c) = a+(b+c)
- 混合运算(有理数的混合运算 优先考虑的事项)
- 如果两个数互为相反数,优先相加
- 如果几个数的和为正数,优先相加
- 分数相加,把同分母的数相加
- 同符号的数相加
- 最后相减
- 题目
- 0.125 +5 - 7 +(1/8) -7 +2 = (-0.125 +(1/8)) +2+5 + -7 = 0; - 0.1 + (8+(1/3))+(11(2/3)) +(1/10) = (-0.1 + 1/10) +((8+(1/3))+11+(2/3)) = 0+ 8+11+1= 20; 1(3/4)+ (-6.5)+ (-1.75) + 3(3/8)+2(5/8)= 1(3/4)+(-1.75) + 3(3/8)+2(5/8)+6.5 = 0+6+-6.5 = -(6.5=6) = -0.5; 南为正 +2 +(-8)+5+7-8+6-7+12 = 2+-8+5+7+-8+6+-7+12 = 2+5+7+6+12 +(-8+-8+-7)=32 +(-23) =9 + 55 /0.2 =55*5= 275 |a|=22 |b|= 27 |a+b|= -(a+b) a=? b=? => 一正一负 => 22 -27 a=-22 b = -27 -(c-b)+(a-c)+[-(b+c)]+[-(a+b)] = b-c + a-c + -b-c + -a + -b = b+-c +a+-c + -b+-c +-a+-b = -b -c-c-c -0 = -b-c-c-c1
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8 - 加法:
- 乘除法
- 法则
- 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(33)=正 (-2-3) 正 (4*-3) 负
- 任何数与 0 相乘得 0;
- 任何两个数的乘积为 1,我们称 互为倒数; 乘积为 1 的数互为倒数;
- 多个有理数不包含 0
- 相乘取决于负因数的个数,为奇数即为负,当负因数的个数为偶数时,即为正;
- 积的绝对值等于个因数的绝对值的积
- 运算律
- 交换律:两个有理数相乘(ab),交换因数的位置 积不变(ba);
- 结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘或者后两个数先相乘结果不变;
- 分配律:一个数同两个数的和的积,等同于吧这个数分别与两个数相乘在吧积相加;
- 符号判断
- 法则
- 除法
- 法则
- 除以一个不为 0 的数,等于乘以这个数的倒数,(要求 b 不等于 0)
- 两数相除,同号得正,异号的负,并把绝对值相除 0 除以任何一个不为 0 的数,结果都为 0
- 题目
+3(1/7)x(3(1/7)) -3-[-5+(1-(0.2*3/5))/(-2)] -4/5 a =(1/b) c = -b |m|=5 ab/m+c+d+m= 1/5 +m+c+d1
2
3 - 法则
- 乘方
- 求几个相同因式的乘积的运算
- 乘方的结果叫做幂
- a 的 n 次方 a 叫做底数 n 叫做指数
- 有理数乘方法则
- 负数的奇次幂仍为负数;
- 负数的偶次幂是正数;
- 正数的任何次幂都是正数;
- 0 的任何次幂都是 0;
- 互为相反数的两个数,他们的奇次幂仍然为相反数,偶次幂相等;
- 远算法则
- 先乘方再乘除最后加减
- 从左往右运算
- 有括号先算括号 运算符号 值的
# 科学计数法与近似数
# 科学计数法
- 把一个绝对值大于 10 的整数表示成 a 乘以 10 的 n 次方的形式;
- a 是整数位只有一位的数;
- n 是一个正整数; 这样的计数方法称为科学计数法
# 近似数
- 有效数字 从一个数的左边第一个非零数字起,到末尾数字未知都是这个数的有效数字;
- 4.75 //三个有效数字 分别是 4,7,5)精确到 0.01 位 百分位; 4.7500 精确到万分位 ;
- 0.0045 //(两个有效数字 4,5) 精确到
# 练习
- 用科学计数法表示下列数字
- 1 000 000 /1*10 的六次方 10 的六次方
- -8765000 /-8.765*十的六次方
- -6541.235 /-6.541235*10 的三次方
- 写出下列用科学计数法表示数的原数
- 3.001*10 的 4 次方 /30010
- -7.557*10 的 7 次方 /-75570000
- 用四舍五入的方法写出近似值
- 1.35875 精确到 0.001 位 /1.359
- 780430 保留两位有效数字 /7.8*10 的五次方
- 4897634 精确到万位 4.90*10 的 6 次方
- 下列为四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位,有几个有效数字
- 0.00102 /万分位,三位有效数(1,0,2)
- 3.05 万 /百位,三个有效数字(3,0,5)
- 1.50*10 的四次方 15000/百位,三位有效数字(1,5,0)
- 3.102*10 的 6 次方 3102000/千位,四个有效数字
- 甲乙的身高近似 1.6*10 的 2 次方厘米,乙比甲高 9cm,有这种可能吗? 1.55<=X<=1.65
# 式
# 整式
单项式跟多项式统称为整式
# 单项式
- 表示数或者字母乘积的式子
- 或者是一个字母,也是单项式 /a,2a/2ab
- 单项式中的数字因数我们称为单项式的系数; (2ab2,系数 2,次数 3)
- 在一个单项式中所有的字母的指数的和叫作单项式的次数;
- 圆周率派式常数 (-3πab,系数-3π,次数 2) 单项式的系数与次数;
# 多项式
- 几个单项式的和叫作多项式;
- 每个单项式也称为多项式的项;
- 不含字母的项称为常数项;(2x+3x-1)-1 不含字母 常熟项
- 多项式的次数指的是,多项式中次数最高项的次数,
- 根据多项式中次数与项数可以称一个多项式为 x 次 x 项式 -3 的 7 次方-2 = 7 次 2 项式
#
- 单项式-5xm 次方 y 与-2a 平方 b 平方的次数相同,求 m 的值时多少;
- m+1 =2+2 m=3
- -3π 的立方 ab 的系数为-3π,次数为 2
- 多项式-3 的 x 方 y 加 2x 平方-1 是几次几项式,3 次 3 项,常数项-1,二次项的系数,2
- 若-2x 的立方 y 的 n-3 的绝对值次方,是关于 xy 的单项式,且系数为 8,次数为 4,求 a n 的值
- 多项式(a-4)x 的 3 次方
2(x^2-2xy)-3(y^2+3xy) 2x^2-4xy- (3y^2 +9xy) = 2x^2-4xy-3y^2-9xy = 2x^2-13xy-3y2
2(2x^2-3xy-2y^2) -(2x^2+2kxy+b^2)= 4x^2-6xy-4y^2 - 2x^2-2kxy-b^2 = 2x^2 -6xy-2kxy -4y^2 -b^2 = 2x^2 -(6+2k)xy -4y^2 -b^2 6+2k=0 k=-3
4xy^2-3x^2y-{3x^2y+xy^2-[2xy^2-4x^2y+(x^2y-2xy^2)]} 4xy^2-3x^2y-{3x^2y+xy^2-[2xy^2-4x^2y+x^2y-2xy^2]} 4xy^2-3x^2y-3x^2y-xy^2+2xy^2-4x^2y+x^2y-2xy^2 4xy^2-xy^2+2xy^2-2xy^2 -3x^2y-3x^2y-4x^2y+x^2y 3xy^2 -9x^2y x=1 y =-1 = 3 - -9=12
(2a-3b)^2 - (a-b) + 3(2a-3b)^2 - 4(a-b) 4(2a-3b)^2 - 5(a-b)
m^2 - mn = 7 mn-n^2 =2求m^2-n^2 m^2-2mn+n^2 m^2 - mn +(mn -n^2) =9 m^2 - mn -(mn -n^2) = 5 m^2 +n^2=9
x^2 - xy =1 4xy-3y^2=-3 求x^2+7xy-6y^2 x^2 - xy +(8xy-6y^2）= x^2 - xy + (8xy-6y^2） x^2 - xy + (8xy-6y^2） 1 +-6 = -5
3a-5b = -19 a+8b = 1 3a-5b +(a+8b)= 4a+3b = -18 -12a -9b= 3*-(4a+3b ) = 54 a+8b-(3a-5b) = 4a -26b = (3a-5b) -(a+8b) = 2(2a-13b) = 2*-20 = -40
小纸盒 abc 大纸盒 1.5a 2b 2c 小纸盒表面积 （2ab+2ac+2bc）cm^2 大纸盒面积 （6ab,6ac,8bc）cm^2 （2ab+2ac+2bc）+(6ab,6ac,8bc） = (8ab+8ac+10bc)cm^2 (6ab,6ac,8bc)-(2ab+2ac+2bc）= (4ab+4ac+6bc)cm^2
#
- 常用的
乘法公式- 平方差公式
(a+b)*(a-b) = a²+b²解:²³½⅓⅔¼⅕∵ ∴ = a*(a-b)+b*(a-b) = a²-ab+ba-b² = a²-ab+ab-b² = a²+(-ab+ab)-b² = a²+0-b²1
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6 - 完全平方公式
(a+b)²= a²+2ab+b²(a+b)2 =(a+b)*(a+b) =a2+ab+ba+b2 =a2+ab+ab+b2 =a2+2*(ab)+b2 =a2+2ab+b21
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- 平方差公式
- 因式分解a2+2ab+b2 = (a+b)(a+b) x2+4x = x(x+4)
把一个多项式化成几个整式的积的形式.
方法:提取公因式、十字相乘法、配平方法等等.- 提取公因式 2 a b2 +2 a b = ab(2b+a) 2a b2 + a2 b
- 十字相乘
- 配方法法 x2+4x+3 x²+2*2x+3 x2+22x+2²-2² +3 (x+2)2-1=48 (x+2)²-1² () x²+22x+2² x²+4x+2² -1